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leetcode每日一题2020.1.9

发表于 分类于 Valine： 本文字数： 1.9k 阅读时长 ≈ 2 分钟

123. 买卖股票的最佳时机 III

一、题目

给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。

设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 两笔 交易。

注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

示例1：

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输入：prices = [3,3,5,0,0,3,1,4]
输出：6
解释：在第 4 天（股票价格 = 0）的时候买入，在第 6 天（股票价格 = 3）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。
     随后，在第 7 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 8 天 （股票价格 = 4）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-1 = 3 。

示例2：

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输入：prices = [1,2,3,4,5]
输出：4
解释：在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。   
     注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票，之后再将它们卖出。   
     因为这样属于同时参与了多笔交易，你必须在再次购买前出售掉之前的股票。

示例 3：

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输入：prices = [7,6,4,3,1] 
输出：0 
解释：在这个情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。

示例 4：

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输入：prices = [1]
输出：0

提示：

  • 1 ≤ prices.length ≤ 105
  • 0 ≤ prices[i] ≤ 105

二、题解

动态规划

题解：

在任意一天结束后，我们会处于五种状态中的一种：

  • 未进行任何操作
  • 只进行了一次买操作
  • 只进行一次买操作和一次卖操作，即完成了一笔交易
  • 在完成了一笔交易的前提下，进行了第二次买操作
  • 完成了两笔交易

由于第一个状态的利润显然为 0，因此我们可以不用将其记录。对于剩下的四个状态，我们分别将它们的最大利润记为 $buy_1$, $sell_1$, $buy_2$, $sell_2$

状态转移，知道第 i-1 天结束后的这四个状态，第 i 天的状态：

  • 对于 $buy_1$

在第 i 天可以不进行任何操作，保持不变，也可以在未进行任何操作的前提下以 prices[i] 的价格买入股票，转移方程为：

其中，$buy_1(i)$ 表示 i 天的状态，$buy_1(i-1)$ 表示 i-1 天的状态，下面也是类似。

  • 对于 $sell_1$

在第 i 天我们可以不进行任何操作，保持不变，也可以在只进行过一次买操作的前提下以 prices[i] 的价格卖出股票，转移方程为：

  • 对于 $buy_2$

同理转移方程为：

  • 对于 $sell_2$

同理转移方程为：

理论上，我们需要维护四个数组 $buy_1[i]$ , $sell_1[i]$ , $buy_2[i]$ , $sell_2[i]$ ，但是因为每个状态只与前一天的状态有关，因而我们可以进一步降低空间复杂度，我们只需维护四个变量：$buy_1$ , $sell_1$ , $buy_2$ , $sell_2$，然后不断的更新这四个变量即可。

  • 总的状态转移方程为：
  • 时间复杂度：O($n$)，其中 n 是数组 prices 的长度。
  • 空间复杂度：O(1)。
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var maxProfit = function (prices) {
    const n = prices.length;
    let buy1 = -prices[0], buy2 = -prices[0], sell1 = 0, sell2 = 0;
    for (let i = 0; i < n; i++) {
        buy1 = Math.max(buy1, -prices[i])
        sell1 = Math.max(sell1, buy1 + prices[i])
        buy2 = Math.max(buy2, sell1 - prices[i])
        sell2 = Math.max(sell2, buy2 + prices[i])
    }
    return sell2;
};
万一真有土豪呢